С детства нас учили о том, что на ноль делить нельзя, что нуль это огого... но что было бы, если бы на ноль можно было бы делить? Давайте пофантазируем.
Заранее прошу прощения за огромное количество упрощений, текст и так получился большим, я старался как мог, может потом распишу больше, многое пришлось опустить.
Для начала разберемся с элементарными арифметическими операциями:
Сложение (корректнее сказать прибавление). Выглядит следующим образом: A + B = C. Операция состоит из двух слагаемых (а лучше сказать прибавляемого и прибавителя, по аналогии с делимым и делителем). "A" это прибавляемое, то есть то, к чему прибавляется "B" (прибавитель). От их перестановки результат не меняется, что можно проверить обратной операцией: например 4+5 и 5+4 - получается и так и так 9.
Вычитание - выглядит так A - B = C. Соответственно "А" это то из чего вычитается (вычитаемое), а "B" это то, что вычитается (вычитатель). Соответственно от их перестановки результат меняется, так как это вполне очевидно: 15 - 20 = -5, а 20 - 15 = 5. Отрицательное значение в первом случае можно обозначить как результат операции выявления нехватки или операции выявления недостачи кол-ва объектов, так как любое число это, по сути, идентификатор наличия или качества объекта).
Перейдем к умножению и делению:
Умножение это, по сути, многократное сложение. У нас есть множимое "А" т. е. то, что умножаем и "B", множитель, т. е. то, на что умножаем. Так как умножение это многократное сложение у нас не меняется результат от перестановки аргументов.
Деление, наоборот, это многократное вычитание. Допустим, мы делим 15 на 3, это значит, что мы, по сути, вычитаем 3 из 15 до тех пор пока не останется ничего (получим ноль как результат последовательного вычитания) или останется что-то, что меньше делителя (например, 14 / 3 получаем в остатке 2).
Вот мы и перешли к нолю/нулю (неважно как писать). Природа ноля в целом проблемна - кто-то относит его к натуральным числам (N ряд натуральных чисел), кто-то нет (N* ряд натуральных чисел). Функционально его необходимость особенно ярко проявляется в позиционных системах счисления, где необходимо обозначать отсутствие значения в разряде чисел. Например, 400 - видите нули в разряде единиц и десяток, правильно, потому что там нет ничего, а есть 4 сотни.
Таким образом, ноль обозначает буквально то, что отсутствует, при самом наличии обозначаемого.
Тут нужно сделать отступление в сторону философии и упомянуть, что похожие категории встречаеются в мыслительной деятельности человека сплошь и рядом, наиболее близкое к понятию ноля в Античности - οὐδέν Демокрита (ничто, небытие), которое при этом существует, мертвая жизнь, несуществующая сущность, сродни понятию "клипот" в иудаизме (ивр. קליפות; дословно "скорлупа", т.е. внутри пусто, но внешние границы и какой вид все-таки кое-как имеется). При этом οὐδέν противостоит δέν (нечто), то есть тому, что есть и μηδέν - это уже прям совсем пустота, такая пустая пустота, что даже обозначить невозможно (впрочем μηδέν и οὐδέν часто меняют местами, путают или по-разному интерпретируют - для последующего повествования это несущественно).
Нуль также функционально важен (и был и есть) в двух больше логико-философских, чем математических вопросах.
Во-первых, ноль обозначает фазовый переход от отрицательных чисел к положительным на системе координат. Бесконечно уменьшая положительное число (дробя его до бесконечности) мы столкнемся с затруднением перехода наиболее минимального числа в такое же, но отрицательное. Границей выступает ноль. Именно поэтому операция 0 - 20 = - 20, то есть вычитание из нуля это по сути операция переключения, переведения числа из диапазона положительных чисел в диапазон отрицательных. Эта операция принципиально отличается от, например, 1 - 20 = - 19, то есть операции выявления нехватки (хотя на системе координат это не очевидно для наблюдателя, потому что отрицательные значения воспринимаются как реально существующие, хотя их нет, есть только обозначения недостатка объектов).
Во-вторых, ноль обозначает начало системы координат. Это весьма важно, так как это размещение нуля имеет отношение к онтологии, а не к математике - внутри системы отсчета всех чисел, в том числе положительного ряда чисел, лежит ничто, пустота. Это полностью совпадает с христианским пониманием творения мира Богом ex nihilo, буквально из ничего. Это не должно вызывать удивления, ведь большая часть современной математики сформировалась в рамках христианской культуры, а сама классическая прямоугольная система координат была предложена Рене Декартом, одним из командующих протестантсткими силами в Тридцатилетней войне - война между католиками и протестантами в Европе в 1618-1648 годах. А еще он выдумал собственное онтологическое доказательство бытия Бога, но это так, между делом).
Это очень важный момент для нашего рассуждения, так как в такой вот христианской онтологии допускается существование некоторых несуществующих объектов, в свою очередь как античное мышление и античная онтология просто не могли такого допустить, чтобы в центре отсчета находилось ровно НИ ЧЕ ГО, для античного мышления точкой отсчета всегда была неделимая единица, наиболее незначительный, но реально существующий объект/число (δέν или атом в философии Демокрита, который представил наиболее утонченный взгляд на проблему ничто и бесконечной пустоты для своего времени, за что его впрочем недолюбливали, особенно Аристотель).
Таким образом, можно выделить как минимум три функции нуля:
1) Обозначение отсутствия чего-либо;
2) Функция переключения диапазона чисел на системе координат;
3) Функция обозначения начала координат.
Теперь понимая природу нуля мы можем перейти к рассмотрению арифметических операций с ним.
Начнем с простого, со сложения 20 + 0 и 0 + 20 будет равняться 20, ведь мы прибавляем к 20 (двадцать единиц чего-либо) 0 (то есть отсутствие чего-либо). В обратном случае мы прибавляем к ничему 20 чего-то, вот в итоге и получаем 20 в обоих случаях.
Вычитание - 0 - 20 мы уже прошли, вычитая любое число из нуля мы, по сути, поворачиваем вентиль на прямо противоположное значение. 20 - 0 будет равняться 20, ведь мы вычитаем из 20 ничего, по сути, проводим пустую операцию результат которой нам заведомо известен.
Вот мы и добрались до самого интересного.
Умножение как мы уже могли понять является многократным сложением. Допустим умножая 5 на 3 мы получаем следующее эквивалентное выражение: 5 + 5 + 5. Ноль это как мы могли понять ничто, обозначение отсутствия чего-либо, соответственно эквивалентным выражением 5 * 0 станет выражение 5 + 0 - очередная пустая операция, результатом которой согласно здравому смыслу должен стать не нулевой аргумент, то есть 5. Но вот с перестановкой у нас не получится от слова совсем. Если мы умножим 0 на 5, то по сути нам надо сложить ноль пять раз. Эквивалентным выражением 0 * 5 будет 0 + 0 + 0 + 0 + 0, таким образом 0 * 5 = 0.
Деление, тут совсем интересно. Если учитывать все вышеизложенное, что будет если разделить 0 на любое число, допусти 0 / 5. Здесь мы вплотную сталкиваемся с онтологией. Так, допустим, для Бога деление ничего на что-то может привести к появлению этого чего-то, для Декарта Бог вообще создал все из ничего и нормально, но для вот человека нет. Здравый смысл говорит нам, что ничего, нуль, сколько ни дели - ничего так и останется в результате, вот и получаем 0 / 5 = 0.
А что же будет если мы разделим что-то на ноль? Допустим мы берем 5 чего-то и делим на ничто, на ноль. В итоге мы получаем тоже самое, что и делили - 5 / 0 = 5. И это очередная пустая операция, результат которой заведомо известен.
И это легко проверить, ведь как мы убедились перестановка аргументов для умножения с нулем играет важную роль и от нее изменяется результат операции (и не играет никакой роли, если ноль не является аргументом). 5 / 0 проверяется выражением x * 0 = 5, где x = 5, а не выражением 0 * x = 5 (потому что это выражение пустое, ноль не может быть множимым и делимым, вернее может, но это бессмысленно).
Подводя итог, как видим никаких проблем с делением на ноль нет, однако, арифметика немного изменилась. Ну что, как тебе такое Алексей Савватеев? )))